LeetCode 1344. 时钟指针的夹角

2022-08-09 HGNULB 约 9 分钟

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题目描述

✅ 1344. 时钟指针的夹角

题意分析

给定 hour 和 minutes 两个整数，表示一个 12 小时制时钟上的时刻，要返回时针与分针之间较小的那个夹角，单位是度，允许 $10^{-5}$ 的误差。

题目要求「较小的夹角」，这是第一个必须抓住的点。两根指针把整个表盘分成两段弧，度数之和恒为 360°，所以答案永远落在 [0°, 180°] 区间内，超过 180° 的那一段必须换成它的补角。

第二个必须抓住的点藏在物理常识里：时针不是每小时跳一格，而是随着分钟连续移动的。3 点半时时针并不指着 3，而是在 3 和 4 的正中间。把时针当成整点位置来算是这道题最主要的错误来源，也正是它被定为「中等」而不是「简单」的唯一原因。

约束里 1 <= hour <= 12、0 <= minutes <= 59。注意 hour 的上界是 12 而不是 11，所以会出现 hour = 12 的输入，它在角度上等价于 0 点，需要折算。

输入规模是常数，没有任何数据结构或遍历的余地，这是一道纯粹的公式推导题——「算法」全部体现在把物理运动翻译成算式的过程里。

边界要留意四点：hour = 12 要折成 0；分针可能反超时针，两个角度谁大谁小不确定，所以要取绝对值；夹角可能恰好是 0°（12:00）或 180°（6:00），都是合法答案；返回值是浮点数，因为 0.5°/分钟的时针速度会产生半度的小数。

解法：角度计算

核心思路

先把表盘建成一个统一的坐标系：以 12 点方向为 0°，顺时针为正方向，一整圈是 360°。这样每根指针在任一时刻都对应一个 [0°, 360°) 的绝对角度，两者相减就是夹角——这一步「统一基准」是把物理问题代数化的关键，没有它就只能凭直觉数格子。

分针的角度最好算。它走完一圈 60 分钟对应 360°，所以速度是 360 / 60 = 6 度每分钟，且不受小时数影响。于是分针角度是 6 × minutes。

时针要拆成两部分。整点部分：走完一圈 12 小时对应 360°，所以每小时 360 / 12 = 30 度，贡献 30 × (hour mod 12)。连续部分：时针在一小时内均匀走完这 30°，而这一小时有 60 分钟，所以速度是 30 / 60 = 0.5 度每分钟，贡献 0.5 × minutes。合起来时针角度是 30 × (hour mod 12) + 0.5 × minutes。

hour mod 12 把输入归一化到表盘的 0..11：12 点与 0 点方向相同，12 mod 12 = 0。即使多出的一整圈在本题最后也可能被补角消掉，先归一化仍能保证两根指针的绝对角都落在同一标准区间，推导和中间量更清楚。

两个角度都确定后，令 diff = |时针角度 - 分针角度|。取绝对值是必要的：谁在前谁在后随时刻变化，比如 3:00 时时针 90°、分针 0°，而 3:30 时时针 105°、分针 180°，正负号会翻转。

此时 diff 落在 [0°, 360°) 内，它是两根指针沿某一方向的夹角。另一个方向的夹角是 360 - diff，题目要较小的那个，所以答案是 min(diff, 360 - diff)。这一步的不变量是：两段弧之和恒为 360°，取较小者必然落在 [0°, 180°]。

正确性来自两个事实：匀速运动公式精确给出了两根指针相对 12 点方向的角度；圆上连接这两个方向的两段弧长度分别是 diff 与 360 - diff。因此取二者较小值，恰好就是题目要求的夹角。

直接用浮点数最自然，因为时针每分钟移动 0.5°，奇数分钟会产生半度。也可以把所有角度先放大 2 倍用整数计算、最后除以 2.0，但本题没有精度累积，double / float64 更简洁。

解题步骤

先算分针角度 6.0 * minutes。 系数 6 来自「一圈 360° ÷ 60 分钟」。这里写成 6.0 是为了让角度类型一眼可见；由于乘积本身是整数，写 6 * minutes 后再赋给浮点变量也不会损失精度。

再算时针角度 30.0 * (hour % 12) + 0.5 * minutes。 前项系数 30 来自「一圈 360° ÷ 12 小时」，后项系数 0.5 来自「每小时 30° ÷ 60 分钟」。这个加法项是全题的核心：它表达了时针的连续移动，漏掉它会让 3:30 这类时刻算出完全错误的结果。

对小时数取模 12。 hour 的取值范围含 12，而表盘上 12 点就是 0 点。取模后 hour % 12 落在 [0, 11]，与「30° 一格」的编号一一对应。

计算 diff = |hourAngle - minuteAngle|。 取绝对值是因为两根指针的先后关系不固定，直接相减会出现负值，导致后面的 min 比较把 360 - diff 这个大于 360 的数错当成候选。

返回 min(diff, 360.0 - diff)。 这一步把「沿某方向的夹角」修正为「较小夹角」。判据很直观：diff 超过 180° 时，360 - diff 必然小于 180°，反之则 diff 本身更小；恰好 180° 时两者相等，取谁都对。

用 double / float64 保存角度。 0.5 * minutes 可能产生半度；若改用整数，就必须统一保存两倍角度，不能在中途做整数除法。

以 hour = 3、minutes = 30 走一遍（正确答案是 75.0）。

分针角度：6.0 × 30 = 180.0，分针指向表盘正下方的 6 点位置，符合直觉。

时针角度：整点部分 30.0 × (3 % 12) = 90.0，连续部分 0.5 × 30 = 15.0，合计 105.0。105° 落在 3 点（90°）与 4 点（120°）的正中间，正是「三点半时针在 3 和 4 中间」的直观描述。这一步如果漏掉连续部分，时针会停在 90°。

diff = |105.0 - 180.0| = 75.0。这里时针角度小于分针角度，减出来是负的 -75，绝对值把它扳正——这正是必须取绝对值的实例。

min(75.0, 360.0 - 75.0) = min(75.0, 285.0) = 75.0。返回 75.0，与预期一致。若漏掉时针的连续移动，会得到 |90 - 180| = 90，偏差整整 15°。

再看三个边界用例。hour = 12、minutes = 0 时两角都是 0°，答案为 0；hour = 12、minutes = 30 时两角分别为 15° 和 180°，答案为 165°，说明 12 必须按表盘位置归一化为 0。

hour = 3、minutes = 15：分针 6 × 15 = 90°，时针 90 + 0.5 × 15 = 97.5°，diff = 7.5，返回 7.5。这个 .5 就是必须用浮点数的直接证据——用 int 会得到 7 甚至 0。

hour = 6、minutes = 0：分针 0°，时针 180°，diff = 180，min(180, 180) = 180，两针正对，返回 180.0，是答案的上界。

代码实现

class Solution {
    public double angleClock(int hour, int minutes) {
        // 分针每分钟走 360 / 60 = 6 度。
        double minuteAngle = 6.0 * minutes;
        // 时针每小时走 30 度，且在一小时内以 0.5 度每分钟连续推进。
        double hourAngle = 30.0 * (hour % 12) + 0.5 * minutes;
        // 谁在前不确定，取绝对值。
        double diff = Math.abs(hourAngle - minuteAngle);
        // 两段弧之和为 360，取较小的那段。
        return Math.min(diff, 360.0 - diff);
    }
}

import "math"

func angleClock(hour int, minutes int) float64 {
	minuteAngle := 6.0 * float64(minutes)
	hourAngle := 30.0*float64(hour%12) + 0.5*float64(minutes)
	diff := math.Abs(hourAngle - minuteAngle)
	return math.Min(diff, 360.0-diff)
}

复杂度分析

时间复杂度：$O(1)$，全程只有固定的几次乘法、加法、取模、取绝对值和一次比较，运算次数与输入数值大小无关，没有任何循环或递归。

空间复杂度：$O(1)$，只用了 minuteAngle、hourAngle、diff 三个浮点标量，不随输入变化。

关键点总结

把物理运动拆成「匀速 × 时间」再求和：时针角度 = 整点贡献 + 分钟贡献，两项分别由 30°/小时和 0.5°/分钟两个速率导出。凡是多个部件按不同速率联动的题（钟表、追及、传送带），都可以套这个「各自定速率、统一定基准」的框架。

圆周上的夹角要取补角修正：任意两个方向把圆分成两段，和为 360°，「较小夹角」就是 min(d, 360 - d)。这条在几何题、方向题里反复出现，记住比现推快。

周期量先取模归位：hour % 12 把 12 点折回 0 点，使两个绝对角都处于同一圈内，补角公式的前提清晰可见。

半度不能被整数除法截断：直接用浮点数最简洁；若面试官要求避免浮点中间量，就统一计算两倍角度，最后除以 2.0。

面试视角：这题代码只有四行，面试官真正在看的是你会不会主动指出「时针是连续移动的」。开口第一句就该说「三点半的时针在 3 和 4 中间，所以时针角度要加上 0.5 × minutes」，然后再补「答案取较小夹角，所以最后要和补角比一次」「hour = 12 要取模归零」。这三句说完基本就满分了。反过来，如果上来就写公式而不解释 0.5 的来历，很容易被追问到卡壳。

易错点总结

错误写法：时针角度只写 30 * (hour % 12)，漏掉 0.5 * minutes → 用例 hour = 3, minutes = 30 会算出 |90 - 180| = 90，而正确答案是 75，偏差 15°；所有非整点时刻都会出错。

错误写法：不取绝对值，直接用 hourAngle - minuteAngle → 用例 hour = 3, minutes = 30 得到 -75，随后 min(-75, 435) 返回 -75，出现负角度。

错误写法：省掉 min(diff, 360 - diff)，直接返回 diff → 用例 hour = 12, minutes = 30 中 diff = |15 - 180| = 165 恰好正确，但用例 hour = 1, minutes = 57 中 diff = |58.5 - 342| = 283.5，超过 180°，正确答案应是 76.5。

错误写法：全程使用 int 类型，写成 30 * (hour % 12) + minutes / 2 → 用例 hour = 3, minutes = 15 中 15 / 2 整除为 7，时针角度算成 97 而非 97.5，返回 7 而正确答案是 7.5，超出 $10^{-5}$ 的误差容忍。

错误写法：分针角度写成整数表达式 minutes / 60 * 360 → minutes < 60 时前半段整除恒为 0，分针被错误地固定在 12 点方向。

错误写法：时针分钟贡献用整数表达式 minutes * 30 / 60 → 用例 minutes = 15 得到 7 而不是 7.5，最终夹角误差为 0.5°；应使用 0.5 * minutes 或两倍角度。

错误写法：把时针速度记成 0.5 度每小时或 6 度每分钟 → 用例 hour = 3, minutes = 30 中若时针用 6 度每分钟，角度变成 90 + 180 = 270，diff = 90，答案错得离谱；速率一定要从「30° 一格 ÷ 60 分钟」现推。

错误写法：认为答案一定小于 180 而写成 diff % 180 → 用例 hour = 6, minutes = 0 中 diff = 180，取模后变成 0，而正确答案就是 180。

错误写法：把「较小夹角」理解成「顺时针从时针到分针」的角 → 用例 hour = 3, minutes = 0 中顺时针从时针 90° 到分针 0° 是 270°，而正确答案是 90，方向性的定义在本题里是多余且有害的。

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